Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2

Вариант 26. Задание 19. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий. Решение

Задание 19. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 600 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 100 купюр по 1000 рублей и 100 купюр по 5000 рублей.

а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 40 000 рублей, а остальное поделить поровну на 70 сотрудников?

в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

Решение.

а) Разделим общую сумму в 600 000 рублей на 40, получим, что каждый должен получить по 15000 рублей. Так как это число кратно и 1000 и 5000, то всем 40 сотрудникам можно раздать равную премию в указанных купюрах.

Ответ: да.

б) Сумма, оставшаяся после выплаты 40 000 будет равна 560 000. При делении на 70 сотрудников получаем выплаты по 8000 рублей. Не удастся сделать, т.к. 8000=5000+3*1000 и для 70 сотрудников нужно будет 210 тысячных купюр, а их всего 100.

Ответ: нет.

в) Рассмотрим случай, когда сотрудников не более 25. Тогда каждому из них сначала выплачивается остаток от деления на 5 размера его премии, который не превышает 4. Соответственно, оставшихся 100 купюр по 1 хватит для этих выплат. А всё остальное кратно 5, и оно легко выплачивается (если остались купюры по 1, то их группируем по 5 штук).

Эта же идея проходит, если сотрудников 26. Действительно, остаток от деления общей суммы равен нулю, и если 25 сотрудникам выдать их остатки купюрами по 1, то от этих купюр останется не меньше, чем остаток, положенный 26-му сотруднику, так как сумма всех остатков кратна пяти. Далее распределяем оставшееся порциями по 5, как и выше.

Для 27 сотрудников строится контрпример. А именно, пусть 26 из них должны получить по 4, а 27-й – всё остальное. Тогда для выплат первым 26 уже потребуется больше ста купюр по 1.

Таким образом, наибольшее число равно 26.

Ответ: 26.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.