Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2

Вариант 24. Задание 19. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий. Решение

Задание 19. В турнире по шахматам принимают участие мальчики и девочки. За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. По правилам турнира каждый участник играет с каждым другим дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если в турнире принимают участие пять мальчиков и три девочки?

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если всего участников девять?

в) Сколько девочек могло принимать участие в турнире, если известно, что их в 9 раз меньше, чем мальчиков, и что мальчики набрали в сумме ровно в четыре раза больше очков, чем девочки?

Решение.

а) Первая девочка играет с 5 мальчиками и 2 девочками, то есть проводит 7 игр по 2 раза. Вторая девочка играет с 5 мальчиками и 1 девочкой (обратите внимание, что игру со второй девочкой уже учли ранее), то есть проводит 6 игр по 2 раза. Третья девочка играет с 5 мальчиками (все остальные игры с двумя девочками уже учтены), то есть проводит 5 игр по 2 партии. Таким образом, всего девочки проводят 7+6+5=18 игр и играют по 2 партии, то есть  партий. За одну партию девочка максимум может получить 1 очко. Следовательно, максимальное количество очков, которое могут получить девочки, равно 36.

Ответ: 36.

б) При  участниках, общее число возможных пар равно

,

каждая пара играет по 2 раза, то есть играется 72 партии. В каждой партии максимум зарабатывается одно очко. Следовательно, максимальное число очков равно 72.

Ответ: 72.

в) Обозначим через  число девочек, тогда мальчиков будет , и всего участников . Общее число пар, которые образуют девочки, определяется формулой , и так как проводится по 2 партии на каждой встрече, то общее число партий для девочек, равно

Общее число очков, которые заработали и мальчики и девочки, равно

,

и так как мальчики заработали в 4 раза больше очков, чем девочки, то данная величина соотносится как 4:1, то есть число очков девочек составляет

,

получаем уравнение:

откуда имеем два решения:  и . Так как число девочек должно быть больше 0, то имеем ответ 1 девочка.

Ответ: 1.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.