Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2

Вариант 23. Задание 19. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий. Решение

Задание 19. Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 3/2?

б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 5/4?

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?

Решение.

Будем полагать, что самая большая сторона  тупоугольного треугольника – это его основание AB. Тогда сумма двух других его сторон , но меньше  (иначе тупой угол перейдет в прямой, а затем в острый).

а) Найдем натуральные a и b такие, что . Можно положить, например, что a=3, b=2, а . Первое условие  выполняется, второе условие  не выполняется. Можно ли найти другие натуральные числа, подходящие под эти условия? Все остальные варианты будут соответствовать величинам , где k – натуральное число. Проверим, при k=2, имеем:

при k=3:

и т.д. при k=5:

Ответ: a=15, b=10, c=11.

б) Найдем натуральные a и b такие, что . При этом, число , так как b по условию – меньшее число. Например, выберем a=5, b=4, c=5. Проверим выполнение условий:

Второе условие не выполняется, следовательно, такие числа не подходят. Можно ли найти другие натуральные числа, подходящие под эти условия? Все остальные варианты будут соответствовать величинам , где k – натуральное число. При этом можно заметить, что

и тогда второе условие можно записать в виде

Так как , то последнее выражение будет больше 0 и представлять собой параболу, ветви которой направлены вверх, то есть оно ни при каких возможных  не станет отрицательным.

Ответ: нет.

в) Нужно найти наименьшее значение , при значении c=18. Для минимизации отношения, необходимо величину  выбрать как можно ближе к 18 и величину  также выбрать как можно ближе к 18. При этом должны выполняться условия для тупоугольного треугольника (см. выше). Первое условие  легко выполняется, поэтому обратим внимание на второе условие . При максимальном значении b=17, получаем:

,

то есть минимальное значение  должно быть равно 25. Таким образом, минимальное значение отношения, равно

.

Ответ: .

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.