Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2

Вариант 22. Задание 19. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий. Решение

Задание 19. Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 13/7?

б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 8/7?

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?

Решение.

Будем полагать, что самая большая сторона  тупоугольного треугольника – это его основание AB. Тогда сумма двух других его сторон , но меньше  (иначе тупой угол перейдет в прямой, а затем в острый).

а) Найдем натуральные a и b такие, что . Можно положить, например, что a=13, b=7, а . Первое условие  выполняется, второе условие  также выполняется, следовательно, это один из возможных вариантов.

Ответ: a=13, b=7, c=8.

б) Найдем натуральные a и b такие, что . При этом, число , так как b по условию – меньшее число. Например, выберем a=8, b=7, c=8. Проверим выполнение условий:

Второе условие не выполняется, следовательно, такие числа не подходят. Можно ли найти другие натуральные числа, подходящие под эти условия? Все остальные варианты будут соответствовать величинам , где k – натуральное число. Для выполнения второго условия лучше всего будут подходить величины a, b, c, равные

и второе условие можно записать в виде

и при  последнее неравенство всегда будет положительным, то есть подобрать величины a, b, c невозможно.

Ответ: нет.

в) Нужно найти наименьшее значение , при значении c=25. Для минимизации отношения, необходимо величину  выбрать как можно ближе к 25 и величину  также выбрать как можно ближе к 25. При этом должны выполняться условия для тупоугольного треугольника (см. выше). Первое условие  легко выполняется, поэтому обратим внимание на второе условие . При максимальном значении b=24, получаем:

,

то есть минимальное значение  должно быть равно 35. Таким образом, минимальное значение отношения, равно

.

Ответ: .

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.