Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2

Вариант 20. Задание 19. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий. Решение

Задание 19. Известно, что a, b, c, и d — попарно различные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство (a+c)/(b+d)=7/19?

б) Может ли дробь (a+c)/(b+d) быть в 11 раз меньше, чем сумма a/b + c/d?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь (a+c)/(b+d), если  и ?

Решение.

а) Так как числа a, b, c, d двухзначные, то для выполнения соотношения 7/19 умножим числитель и знаменатель на некоторое целое число , получим:

.

Это равенство можно обеспечить, например, при k=3, тогда

и можно взять числа a=10, c=11, b=20, d=37.

Ответ: да.

б) Проверим, можно ли найти такие двухзначные a, b, c, d, чтобы выполнялось равенство

,

или в виде

,

получаем систему:

Отсюда видно, что не существует двухзначных чисел b и d таких, чтобы их сумма и произведение было равно. Следовательно, обеспечить равенство невозможно.

Ответ: нет.

в) Чтобы дробь  принимало минимальное значение необходимо, чтобы величина  была как можно меньше, а величина  как можно больше. Учитывая, что  и , можно записать

Из первого условия получаем, что

, то есть .

Теперь перепишем дробь, подставляя вместо  и , так как это минимальные возможные значения:

Получаем минимальное значение дроби, которая достигается при a=97, b=32, c=61, d=10.

Ответ: .

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.