Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика, Физика 2016 > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2

Вариант 1. Задание 19. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий. Решение

Задание 19. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Решение.

а) Пусть дана арифметическая прогрессия, состоящая из трех чисел . Тогда первое значение, которое вычислил математик, равно величине

.

Затем, был добавлен следующий член арифметической прогрессии , и было получено значение

.

Необходимо, чтобы разность , раскрывая квадраты и сокращая подобные члены, получаем:

Из формул арифметической прогрессии известно, что  и , где  - разность арифметической прогрессии (). Таким образом, последнее выражение можно переписать в виде

Из последнего выражения видно, что если взять  и , то получим соблюдение равенства

,

то есть можно взять арифметическую последовательность вида

 и ,

которая даст разность

б) Найдем последовательности с 12-ю членами и 13-ю членами соответственно, у которых разность . В пункте а) была расписана разность  для 4-х и 3-х членов последовательности. Обобщая это выражение на n+1 и n членов последовательности, получим:

.

Также, учитывая, что  и , имеем:

,

откуда

.

Так как  по условию задания, то минимальное значение разности может быть получено при  и , получим:

,

то есть подобрать нужные арифметические последовательности с 12-ю и 13-ю членами невозможно.

Ответ: нет.

в) Из предыдущего пункта ясно, что . Последующие значения  нужно подбирать:

- при , имеем:

число 720 не делится нацело на 11, следовательно, нельзя подобрать целые  и ;

- при :

невозможно подобрать целые  и , чтобы получалось 144;

- при :

чтобы получить целые решения, один из множителей в левой части должен быть кратен 5 или 10, но при таких значениях целых решений найти не удается;

- при :

имеется целое решение при  и .

Таким образом, получаем следующую прогрессию из 8-ми членов:

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

которая удовлетворяет условию задания.

Ответ: 8.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.