Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2

Вариант 16. Задание 19. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий. Решение

Задание 19. Пусть q — наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел х и у, удовлетворяющих равенству 7x=16y-73.

а) Может ли q/d быть равным 204?

б) Может ли q/d быть равным 2?

в) Найдите наименьшее значение q/d.

Решение.

Наибольший общий делитель d есть НОД(x, y)=d. Тогда , а , где  - натуральные взаимно простые числа.

а) Подставим в формулу выражения для x и y, получим:

Так как 73 – простое число, то d может принимать значения 1 или 73. Будем полагать, что d=1, тогда

,

и

,

откуда

.

Решаем квадратное уравнение, получаем:

Таким образом, получили первое число u=17, тогда второе значение

,

и

Имеем два числа, у которых НОД(17, 12)=1, а НОК(17, 12)=204, и 204:1=204.

Ответ: 17 и 12.

б) По аналогии с пунктом а) проверим, может ли , имеем:

видим, что квадратное уравнение не имеет целых решений. Попробуем найти решение при d=73, получим уравнение:

также не имеет целых решений.

Ответ: нет.

в) 1. Будем полагать, что d=1, тогда . Так как u и v – натуральные числа, то минимальное значение u можно найти из выражения

,

и оно равно (путем подбора) u=1, тогда

.

Это и есть минимальные значения u и v, при которых

и НОД(1, 4)=1, НОК(1,4)=5 и q/d=5/1=5 – наименьшее значение при d=1.

2. Будем полагать, что d=73, тогда , и

.

Минимальное значение u=9, тогда , и

НОД(657, 292)=73, НОК(657, 292)=2628 и q/d=2628/73=36.

Таким образом, имеем минимальное значение .

Ответ: 5.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.