Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2

Вариант 13. Задание 19. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий. Решение

Задание 19. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Решение.

а) Двухзначное натуральное число ab можно представить в виде . Обозначим через  - сумму десятых частей числа, а через  - сумму единиц двухзначных чисел. Тогда в соответствии с условием задания, имеем:

Решаем систему уравнений, получаем значения:

и . Найдем теперь необходимые двухзначные числа. Начнем с большего числа 143. Разделим его на максимальное однозначное число 9, получим , а последнюю цифру выберем равную . Таким образом, для единиц выбрали 15 девяток и 1 восьмерку – всего 16 цифр. Теперь рассмотрим меньшее число 22. Из него также нужно получить 16 цифр. Этого можно достичь, если взять 10 единиц и 6 двоек, и в итоге, получаем следующий набор чисел:

19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 29, 29, 29, 29, 29, 28.

б) Проверим, могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел, получим систему уравнений:

То есть получаем, что сумма десяток должна быть дробной, но этого невозможно добиться, используя натуральные числа. Следовательно, получить сумму в 2 раза большую невозможно.

Ответ: нет.

в) Из приведенной выше системы уравнений для  и  видно, что для получения их целых значений, подходит множитель 4 (перед числом 363), следующий – это 7. Посмотрим, что даст этот множитель для сумм:

Таким образом, необходимо, чтобы сумма десяток была равна 11, а сумма того же числа цифр давала 253. Очевидно, этого добиться невозможно, следовательно, множитель 7 уже не подходит и множитель 4 – это максимальный множитель.

Ответ: 4.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.