Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2

Вариант 11. Задание 19. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий. Решение

Задание 19. Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2014, а разность равна 13. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.

а) Найдите тысячное число получившейся последовательности.

б) Найдите сумму первой тысячи чисел получившейся последовательности.

в) Чему может равняться наибольшая сумма 1010 чисел получившейся последовательности, идущих подряд?

Решение.

При решении этого задания следует знать, что сумму цифр числа можно вычислить как остаток от деления на 9. Например, число 1234, при делении на 9, получаем остаток

и, действительно,

1+2+3+4=10=1+0=1.

Если же в результате деления получаем число 0, например, для числа 1233

то такое число заменяем на 9. Проверяем:

1+2+3+3=9.

Описанную операцию кратко записывают так

.

а) Вычислим несколько первых членов арифметической прогрессии, получим:

Из полученных результатов видно, что итоговая последовательность повторяется через каждые 9 членов. Таким образом, первые 999 членов – это периодическая последовательность со 111 группами чисел (7,2,6,1,5,9,4,8,3), а 1000-й член – это первое число следующей группы, то есть число 7.

б) Сначала найдем сумму первых 999 членов последовательности. Как мы выяснили в пункте а) она состоит из 111 групп чисел (7,2,6,1,5,9,4,8,3), сумма которых равна 45. Таким образом, имеем сумму первых 999 членов, равную . Следующий, 1000-й член, равен 7, и сумма первых 1000 членов равна 4995+7=5002.

в) 1010 членов последовательность содержат 112 групп 9 чисел, сумма которых равна 45 вне зависимости от начального члена (при любой точке отсчета). Остается еще  члена, которые должны быть максимальными. Очевидно, это подряд идущие числа 5, 9. Таким образом, получаем максимальную сумму 1010 членов:

.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.