Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 9. Задание 14. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 14. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра АВ = 12√3, SC = 13.

а) Докажите, что прямая, проходящая через середины рёбер AS и ВС, пересекает высоту пирамиды.

б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины рёбер AS и ВС.

Решение.

а) Так как SO – высота пирамиды, то , где AP – медиана (см. рисунок). Прямые KP и SO лежат в одной плоскости ASP, следовательно, они могут быть либо параллельными, либо пересекающимися прямыми. Параллельными они быть не могут, так как в этом случае они обе должны были бы быть ортогональны прямой AP, но KP – медиана к AS, и значит, KP пересекает SO.

б) Нужно найти угол  между плоскостью ABC и прямой KP (см. рисунок). Рассмотрим прямоугольный треугольник KMP, из которого следует, что тангенс угла  равен

.

Найдем длины отрезков KM и MP. Найдем сначала длину AP из прямоугольного треугольника ABP, в котором угол , так как треугольник ABC – равносторонний. Тогда можно записать

,

откуда

.

Вершина пирамиды S проецируется в точку O, которая находится на пересечении медиан треугольника и делит их в отношении 2:1, то есть можно записать, что AO:OP=2:1 и так как AP=18, имеем:

Так как точка K – середина отрезка AS, то ее проекция на отрезок AO также делит этот отрезок пополам, и KM является средней линией треугольника ASO, то есть

.

Длину отрезка SO найдем из прямоугольного треугольника AOS по теореме Пифагора:

и

,

а MP=AO=12, так как точка M лежит по центру AO и точки M и O делят отрезок AP на 3 равные части. Таким образом,

Ответ: .

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: