ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Источник задания: Решение 3051. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Задание 16. Окружность с центром О касается боковой стороны АВ равнобедренного треугольника ABC, продолжения боковой стороны АС и продолжения основания ВС в точке N. Точка М — середина основания ВС.

а) Докажите, что AN = ОМ.

б) Найдите ОМ, если стороны треугольника ABC равны 10, 10 и 12.

Решение.

Решение представлено Григорием Пожидаевым

а) Отрезки  (по свойству касательной),  (так как AM – медиана к BC равнобедренного треугольника ABC). Из ортогональности этих прямых следует, что  как перпендикуляры к одной прямой.

Пусть AC=AB=a, BC=b, AM=h, тогда можно записать следующие равенства:

Так как  и AM=ON, то AMNO – прямоугольник с диагоналями AN=OM.

б) По теореме Пифагора можно записать, что

и введем обозначение:

при BH=BN, AH=AJ – как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки. Тогда

,

а CJ=CN как отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки. Поэтому

.

Отрезок  и из п. а) AM=ON. Тогда по теореме Пифагора имеем:

.

Ответ: .

Другие задания: