Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 6. Задание 16. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 16. На сторонах АВ, ВС, CD и AD параллелограмма ABCD отмечены точки K, L, М и N соответственно, причем AK/KB=BL/LC=CM/MD=DN/NA.

а) Докажите, что четырёхугольник KLMN — параллелограмм, а его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.

б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN и ABCD, если известно, что AK/KB = 2.

Решение.

а) Так как ABCD – параллелограмм, то , , AB=CD, BC=AD, , . Обозначим через  отрезок KB, соответственно, длина отрезка , где  - некоторое положительное число. Аналогично определим и для других отрезков (см. рисунок):

Рассмотрим треугольники KBL и MDN, которые равны по двум сторонам и углу (см. рисунок), следовательно, KL=MN. По аналогии из треугольников AKN и CML следует равенство KN=LM. Таким образом, доказали, что KLMN – параллелограмм.

б) Так как , то число . Площадь параллелограмма ABCD можно найти по формуле

.

Площадь параллелограмма KLMN можно найти как разность между площадью параллелограмма ABCD и четырех равных площадей треугольников KBL, LCM, NDM и ANK:

и отношение площадей равно

.

Ответ: .

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: