Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 5. Задание 19. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 19. Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых начинается с цифры 9 и не содержит цифр 0 и 1.

а) Может ли в такой прогрессии быть 6 членов?

б) Докажите, что число её членов меньше 70.

в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 32.

г) Приведите пример такой прогрессии с 32 членами.

Решение.

На заметку. Можно заметить, что арифметическую прогрессию, состоящую из натуральных чисел и , можно представить в виде схемы (дана при ):

Здесь в первой строке идет группа чисел, которая повторяется в последующих строках с прибавлением к ним 10, 20, и т.д. Кроме того, можно заметить, что для соблюдения этой схемы параметр  может принимать только строго определенные значения (см. табл. 1)

Таблица 1.

Значение параметра

Число членов в первой группе (первой строке)

1

10 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

2

5 (1, 3, 5, 7, 9)

5

2 (1, 6)

25

4 (1, 26, 51, 76)

125

8 (1, 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876)

При всех остальных значениях  будем получать число членов в первой группе больше 10, что противоречит схеме. Данная схема важна тем, что только она обеспечивает максимальное число членов, не содержащих определенные цифры.

а) Да, может, например, последовательность

922, 927, 932, 937, 942, 947,

составленная при  и .

б)-г) Из задания следует, что скорее всего максимальная длина последовательности состоит из 32 членов. Этой длины можно достичь при  равной 2, 25 и 125, получая, соответственно последовательности длинами: ,  и  (здесь 10 означает максимальное число строк в таблице, так как на 10-й строке неизбежно проявятся цифры всего диапазона и дальше перебирать нет смысла).  Рассмотрим первый вариант при . За 50 итераций он даст прирост . Учитывая, что первая цифра должна быть 9, а цифр 0 и 1 не должно быть в последовательности, то начальное значение выберем , получим:

922, 924, 926, 928, 930, ...

Здесь мы сразу получаем цифру 0, значит данный вариант не подходит. Следующий вариант при  и , имеем:

Итого имеем  членов с первой цифрой 9 и не содержащих цифр 0 и 1. Проверим, возможно ли получить более длинную последовательность при  и , получим:

92347, 92472, 92597, 92722, 92847, 92972, 93097,

то есть уже на 7-м члене последовательности имеем цифру 0. Следовательно, максимальная последовательность будет иметь 32 члена.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: