Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 4. Задание 19. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 19. Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых начинается с цифры 9 и не содержит цифры 0.

а) Может ли в такой прогрессии быть 10 членов?

б) Докажите, что число её членов меньше 100.

в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.

г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами.

Решение.

На заметку. Прежде чем переходить к доказательствам, сначала заметим, что арифметическую прогрессию, состоящую из натуральных чисел и , можно представить в виде схемы (дана при ):

Здесь в первой строке идет группа чисел, которая повторяется в последующих строках с прибавлением к ним 10, 20, и т.д. Кроме того, можно заметить, что для соблюдения этой схемы параметр  может принимать только строго определенные значения (см. табл. 1)

Таблица 1.

Значение параметра

Число членов в первой группе (первой строке)

1

10 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

2

5 (1, 3, 5, 7, 9)

5

2 (1, 6)

25

4 (1, 26, 51, 76)

125

8 (1, 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876)

При всех остальных значениях  будем получать число членов в первой группе больше 10, что противоречит схеме. Данная схема важна тем, что только она обеспечивает максимальное число членов, не содержащих определенные цифры.

а) Да, может, например, последовательность вида

911, 913, 915, 917, 919, 921, 923, 925, 927, 929,

которая имеет первый член  и разность .

б)-г) Из представленной табл. 1 видно, что при разных параметрах  первая группа чисел может состоять из 10, 5, 2, 4 или 8 чисел. Первый вариант 10 чисел заведомо не подходит, рассмотрим остальные. Из них можно составить последовательности длиной в 10 строк (на 10-й строке неизбежно проявятся цифры всего диапазона и дальше перебирать нет смысла). Следовательно, максимальная последовательность может равняться  и имеет шаг . Данный шаг за 80 итераций даст значение 10000, при этом нам необходимо, чтобы первая цифра была 9, а нулей не было совсем. Поэтому в качестве начального значения выберем , и получим последовательность:

Получили последовательность из  членов с первой цифрой 9 и не содержащих цифру 0. В соответствии со схемой эта последовательность максимальна, другие шаги  дадут последовательности длиной только 20, 40 и 50 членов.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: