Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 3. Задание 16. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 16. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1, K и M — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.

а) Докажите, что .

б) Найдите площадь треугольника KBM, если известно, что AC = 10, BC = 6, AB = 8.

Решение.

Решение представлено Григорием Пожидаевым

а) Продолжим BK и BM до пересечения с AC. Получим точки K1 и M1 соответственно (см. рисунок ниже). Рассмотрим треугольник ABM1, в котором AM – биссектриса и высота одновременно, следовательно, ABM1 – равнобедренный треугольник, а AM – его медиана. А это значит, что BM=MM1.

По аналогии для треугольника CBK1, в котором CK – биссектриса и высота, следовательно, CBK1 – равнобедренный треугольник с медианой CK и, следовательно, BK=KK1. Таким образом, получаем, что MK – это средняя линия треугольника K1BM1, откуда следует, что .

б) Треугольник ABC является прямоугольным с углом B=90°, так как для его сторон выполняется теорема Пифагора:

Тогда, для треугольника ABC будет справедливо:

и

Найдем теперь длины сторон BM и BK, получим:

Так как треугольник ABC прямоугольный, то

.

Также углы  как накрест лежащие. А сумма углов , следовательно, вокруг четырехугольника BKOM можно описать окружность. Углы , так как опираются на дугу KO, а углы , так как опираются на дугу MO. Отсюда следует, что .

Площадь треугольника KBM вычислим по формуле

Ответ: 2,4.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: