Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика 2016 > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 3. Задание 14. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 14. Точка Е — середина ребра АА1 куба ABCDA1B1C1D1

а) Докажите, что сечение куба плоскостью DEB1 является ромбом.

б) Найдите угол между прямыми DE и BD1.

Решение.

а) Так как точка E – середина отрезка  и  является плоскостью, то точка P, через которую проходит плоскость , также является серединой отрезка . Отсюда следует, что треугольники  и  равны между собой как прямоугольные и с равными катетами, а, следовательно, равны и их гипотенузы . Учитывая, что противоположные грани куба параллельны друг другу, то . Аналогично доказывается, что  и . Кроме того, учитывая, что фигура  куб, то , откуда следует, что плоскость сечения  является ромбом.

б) Длину ребра куба условно примем за 1, а угол между прямыми  и  обозначим через . Поместим куб в трехмерную декартовую систему координат (см. рисунок ниже),

в которой точки будут иметь координаты

и прямые  и  можно представить как векторы с координатами:

Тогда косинус угла между векторами  и  можно найти как

,

где

и

,

откуда

.

Ответ: .

Наша группа Вконтакте