Задание 16. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD со сторонами АВ = 9, ВС = CD = 11, AD = 15 и диагональю АС =16.
а) Докажите, что около него можно описать окружность.
б) Найдите диагональ BD.
Решение.
а)
Если
вокруг четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных
углов будет равна 180 градусов. Это необходимое и достаточное условие для
доказательства этого положения. Докажем, что сумма углов 
. Рассмотрим треугольник ABC, в котором
известны все стороны, тогда угол 
можно найти по теореме косинусов как
Аналогично
для угла 
из
треугольника ADC, имеем:
Таким образом, косинусы углов отличаются только знаком, следовательно, можно записать, что
то есть вокруг данного четырехугольника можно описать окружность.
б) Рассмотрим треугольник ABD и по теореме косинусов можно записать:
Также диагональ BD можно вычислить по теореме косинусов из треугольника BCD:
Вычтем (1) и (2), получим:
Подставим это значение в (2), найдем BD:
и
.
Ответ: 
.
Другие задания: