Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика, Физика 2016 > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 2. Задание 19. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 19. Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.

а) Может ли в такой прогрессии быть 10 членов?

б) Докажите, что число её членов меньше 100.

в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.

г) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами.

Решение.

а) Арифметическая прогрессия, это последовательность вида

,

где  - целые числа больше 0. Если выбрать  и , то получим такую последовательность

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,

которая содержит 10 членов без цифры 9.

б)-г) Прежде чем переходить к доказательствам, сначала заметим, что арифметическую прогрессию, состоящую из натуральных чисел и , можно представить в виде схемы (дана при ):

Здесь в первой строке идет группа чисел, которая повторяется в последующих строках с прибавлением к ним 10, 20, и т.д. Кроме того, можно заметить, что для соблюдения этой схемы параметр  может принимать только строго определенные значения (см. табл. 1)

Таблица 1.

Значение параметра

Число членов в первой группе (первой строке)

1

10 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

2

5 (1, 3, 5, 7, 9)

5

2 (1, 6)

25

4 (1, 26, 51, 76)

125

8 (1, 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876)

При всех остальных значениях  будем получать число членов в первой группе больше 10, что противоречит схеме. Данная схема важна тем, что только она обеспечивает максимальное число членов, не содержащих определенные цифры.

Опираясь на описанную схему, найдем последовательность с наибольшим числом членов, не содержащих цифру 9. Из таблицы видно, что параметр  в этом случае может принимать значения: 5, 25 и 125. Соответственно в первой строке получаем число членов: 2, 4 и 8. Из этих чисел можно составить последовательности со следующим число членов (без повторения цифр в старшем разряде):

Распишем их, получим:

при :

имеем 18 членов без цифр 9;

при :

имеем  членов без цифры 9;

при :

имеем  члена без цифры 9.

Таким образом, максимальное число членов без цифры 9 равно 72.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: