Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика, Физика 2016 > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 2. Задание 16. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 16. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан АА1 и CC1 если известно, что АС = 30.

Решение.

а) Так как  медиана, то . Также из того факта, что M – точка пересечения медиан, то . Обозначим , соответственно, , и . По условию задачи AC=3MB, то есть  и . Таким образом, получаем, что треугольник  равнобедренный с основанием AB. Так как углы в равнобедренном треугольнике при основании равны, то . Треугольник  также равнобедренный с основанием BC и, следовательно,  (см. рисунок). Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, для треугольника ABC можно записать:

Из последнего выражения следует, что угол  - прямой, и треугольник ABC – прямоугольный.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором гипотенузу  можно выразить по теореме Пифагора как . Аналогично, из прямоугольного треугольника  гипотенуза . Получаем следующую систему:

Сложим оба уравнения, получим:

Так как  - это средняя линия треугольника ABC, то :

.

Ответ: 1125.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: