Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 2. Задание 14. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 14. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 3, точка М — середина ребра АС, точка О — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 2:1, считая от вершины пирамиды.

а) Докажите, что плоскость MSF перпендикулярна ребру АС.

б) Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью ABC.

Решение.

а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник, то есть треугольник ABC – равносторонний. Учитывая также, что точка M – середина AC, то . Отрезок SO – высота пирамиды, то есть , и, следовательно,  по теореме о трех перпендикулярах. Таким образом, из

имеем, что , и, следовательно, .

б) Угол между плоскостями MCF и ABC равен углу . Рассмотрим прямоугольный треугольник FOM, из которого следует, что . Точка O делит отрезок BM в отношении 2:1 (то есть OB – это 2 части, а OM – 1 часть). Длина отрезка OB представляет собой радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника ABC и равна

,

и так как OM в 2 раза меньше OB, то . Найдем длину отрезка SO (чтобы потом найти длину FO) из прямоугольного треугольника SOB и по теореме Пифагора имеем:

,

и так как точка F делит SO в отношении 2:1 (по условию задачи), то OF в 3 раза меньше SO:

.

Таким образом, тангенс угла между плоскостями, равен:

и

.

Ответ: .

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: