Задание 14. В правильной треугольной пирамиде стороны основания равны 15, а боковые рёбра равны 14. Около пирамиды описана сфера.
а) Докажите, что центр сферы лежит на высоте пирамиды.
б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости основания.
Решение.
а) Так как сфера
описана вокруг пирамиды, то все вершины пирамиды лежат на поверхности сферы и
расстояния от центра сферы до вершин A, B и C равны и
являются радиусом сферы. Рассмотрим три вершины A, B, C и найдем
множество точек пространства равноудаленных от них. Таким множеством будет
прямая, проходящая через центр 
окружности, описанной вокруг треугольника
ABC и
перпендикулярна к плоскости этого треугольника, а это и есть высота пирамиды.
Следовательно, центр сферы лежит на высоте пирамиды.
б) Необходимо
найти расстояние 
(см.
рисунок). Сначала найдем расстояние 
из прямоугольного треугольника 
, в котором известна
гипотенуза AM=14, а катет 
представляет собой
радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника ABC, и как
известно, этот радиус можно найти через сторону равностороннего треугольника по
формуле
.
Таким
образом, длина отрезка будет равна (по теореме Пифагора):
.
Теперь
найдем радиус сферы из диаметра сферы. Диаметр сферы 
вместе с точкой A образует
прямоугольный треугольник 
с прямым углом 
. Тогда AM можно выразить
как
или
,
откуда
и радиус сферы, равен:
.
В
результате, расстояние будет равно:
.
Ответ: 
.
Другие задания:
