Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 27. Задание 14. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = √21, SB = √85 , SD = √57.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник SAB, в котором стороны подчиняются соотношению

следовательно, треугольник SAB – прямоугольный с катетами SA и SB, то есть . Аналогично для треугольника SAD, имеем:

то есть треугольник SAD – прямоугольный с катетами SA и SD (). Тогда из ортогональности  и  следует, что , то есть SA – высота пирамиды.

б) Угол между SC и BD соответствует углу POD (см. рисунок). В соответствии с теоремой косинусов, угол POD можно найти по формуле

(здесь взят модуль, так как угол между двумя прямыми – всегда острый либо прямой угол).

Для нахождения длины PO найдем сначала длину SC из прямоугольного треугольника SBC по теореме Пифагора:

.

Отрезок , так как PO – средняя линия треугольника SAC. Отрезок , так как точка O делит диагонали прямоугольника пополам. Отрезок PD найдем из прямоугольного треугольника DAP, в котором известен катеты AD=6 и AP=√21:2, получим:

.

Поставляем все найденные числовые значения в формулу косинуса угла POD, имеем:

и угол между SC и BD равен

.

Ответ: .

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: