Задание 16. На сторонах АВ, ВС, CD и AD параллелограмма ABCD отмечены точки K, L, М и N соответственно, причём AK/KB = BL/LC = CM/MD = DN/NA.
а) Докажите, что четырёхугольник KLMN — параллелограмм, а его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.
б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN и ABCD, если известно, что AK:KB = 2:5.
Решение.
а) Пусть 
и 
, тогда 
и 
, где 
- коэффициенты пропорциональности. Так
как в параллелограмме противоположные стороны равны, то 
, 
, 
и 
, а угол 
(см. рисунок). Из этих равенств следует,
что треугольники KBL и MDN равны по двум сторонам и углу. Тогда
отрезки KL=NM. Аналогично и
для треугольников AKN и LCM, у которых две равные стороны и угол,
следовательно, LM=KN. Таким образом, четырехугольник, у
которого противоположные стороны равны, является параллелограммом, то есть KLMN –
параллелограмм.
б) Так как АК:KB = 2:5, то 
, 
, 
, и аналогично для 
, 
, 
. Площадь параллелограмма ABCD можно вычислить
по формуле
Площадь параллелограмма KLMN вычислим как разность между площадью параллелограмма ABCD и площадями четырех равных треугольников AKN:
и отношение площадей, равно
.
Ответ: 
.
Другие задания: