ЕГЭ и ОГЭ
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Источник задания: Решение 4843. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Задание 8. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 9. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение.

1-й способ. Так как пирамида правильная, то в ее основании лежит квадрат со сторонами 9. Сечение проходит точно по центру боковых граней, следовательно, оно представляет собой квадрат со сторонами в 2 раза меньшими, чем основание, т.е. по 4,5. Площадь квадрата со сторонами 4,5, равна

S = 4,5∙4,5 = 20,25.

2-й способ. Если все ребра пирамиды равны, то гранями пирамиды являются равносторонние треугольники, у которых углы равны 60 градусов, а высота делит основание пополам и является биссектрисой угла.

Рассмотрим грань пирамиды (равносторонний треугольник), чтобы определить длину ребра сечения .

Рассмотрим прямоугольный треугольник  с  и углом , т.к. высота является и биссектрисой. Синус угла равен отношению противолежащего катета на гипотенузу, т.е.

отсюда получаем

,

а все ребро

.

Плоскость сечения представляет собой квадрат, и соответственно, его площадь равна

.

Ответ: 20,25.

Другие задания: