Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 24. Задание 14. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 14. а) Докажите, что в правильной треугольной призме АВСА1В1С1 прямая, проходящая через середины отрезков AA1 и ВС1, перпендикулярна этим отрезкам.

б) В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1.

Решение.

а) Рассмотрим два треугольника AMB и , которые равны между собой по двум сторонам  и углу (они оба прямоугольные). Следовательно, у них также равны и стороны . Таким образом имеем равнобедренный треугольник  с точкой N, находящейся на середине основания , то есть MN – медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию. Но тогда она также является и высотой этого треугольника и .

По аналогии, из двух равных треугольников ABN и  имеем  и рассматривая равнобедренный треугольник , имеем точку M, лежащей в центре основания , то есть MN является медианой равнобедренного треугольника , а следовательно, и его высотой, то есть .

б) Расстояние между прямыми  и  - это отрезок MN, так как он перпендикулярен обеим прямым. Для нахождения длины MN, найдем сначала два других отрезка по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника :

,

и из прямоугольного треугольника :

.

Тогда из прямоугольного треугольника , имеем:

.

Ответ: .

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: