Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 22. Задание 16. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 16. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан АА1 и СС1, если известно, что АС = 26.

Решение.

а) Треугольник  равнобедренный со сторонами , следовательно, углы . Аналогично и в треугольнике  стороны  и углы  (см. рисунок ниже).

Рассмотрим треугольник ABC, сумма всех углов в котором, равна 180 градусов, следовательно, можно записать

Как видно из рисунка, угол B равен , следовательно, он прямой, а треугольник ABC – прямоугольный.

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, который является равнобедренным (AB=BC), так как треугольники  и  подобны и равны друг другу. Найдем катеты этого треугольника по теореме Пифагора:

Из того факта, что треугольник ABC равнобедренный, следует, что медианы  и  равны между собой. Квадрат медианы  найдем из прямоугольного треугольника , получим:

и

.

Ответ: 845.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: