Задание 16. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан АА1 и СС1, если известно, что АС = 26.
Решение.
а) Треугольник 
равнобедренный
со сторонами 
,
следовательно, углы 
.
Аналогично и в треугольнике 
стороны 
и углы 
(см. рисунок ниже).
Рассмотрим треугольник ABC, сумма всех углов в котором, равна 180 градусов, следовательно, можно записать
Как
видно из рисунка, угол B равен 
, следовательно, он прямой, а треугольник ABC – прямоугольный.
б) Рассмотрим
прямоугольный треугольник ABC, который является равнобедренным (AB=BC), так как
треугольники и
подобны и
равны друг другу. Найдем катеты этого треугольника по теореме Пифагора:
Из
того факта, что треугольник ABC равнобедренный, следует, что медианы 
и 
равны между собой. Квадрат
медианы найдем
из прямоугольного треугольника 
, получим:
и
.
Ответ: 845.
Другие задания:
Для наших пользователей досутпны следующие материалы: