Задание 19. Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключённые между числами 210 и 350.
а) Может ли такая прогрессия состоять их четырёх членов?
б) Может ли такая прогрессия состоять их пяти членов?
Решение.
а) Допустим, что
первый член геометрической прогрессии равен 
, а 
. Тогда следующие три члена геометрической
последовательности будут равны
б) Предположим,
что знаменатель геометрической прогрессии определяется как 
, где 
- взаимно простые натуральные
числа, причем 
.
Тогда для пяти членов прогрессии должно выполняться условие
.
Здесь
величина 
(первый
член прогрессии) выбрана так, чтобы она делилась на 
нацело (иначе не получим
натуральное число с учетом того, что взаимно простые). Отсюда следует, что 
и так как 
, то 
. Учитывая, что 
, имеем 
, следовательно
и
,
то есть пять членов такой геометрической прогрессии быть не может.
Ответ: а) да; б) нет.
Другие задания: