Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 20. Задание 19. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 19. Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2013, а разность равна 8. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.

а) Найдите тысячное число получившейся последовательности.

б) Найдите сумму первой тысячи чисел получившейся последовательности.

в) Чему может равняться наибольшая сумма 1010 чисел получившейся последовательности, идущих подряд?

Решение.

а) Найдем тысячный член исходной прогрессии, учитывая, что первый член – это 2013, то тысячный будет равен

.

Все цифры этого члена сложили, следовательно, получаем значение тысячного члена преобразованной последовательности:

.

Ответ: 6.

б) Для подсчета суммы будем использовать правило: сумма цифр числа равна остатку от деления на 9 (если получается 0, то заменяем его на 9). Например, число 2013 при делении на 9 дает остаток

Данную операцию принято обозначать как . Итак, первый член прогрессии равен 6, тогда следующие члены будут равны

Анализ этих значений показывает, что они повторяются через каждые 9 членов прогрессии, и сумма первых 9 членов равна

6+5+4+3+2+1+9+8+7=45.

Тогда первые 999 членов прогрессии, то есть 111 групп по 9 членов (т.к. ), можно вычислить как

,

а тысячный член равен 6, следовательно, сумма 1000 членов равна

4995+6=5001.

Ответ: 5001.

в) Учитывая, что преобразованная последовательность периодична с периодом в 9 членов, то  членов этой последовательности всегда будут давать одну и ту же сумму, равную

.

Оставшиеся  члена прогрессии должны принимать максимальное значение, а это числа 8 и 9, следовательно, максимальная сумма будет равна

5040+8+9=5057.

Ответ: 5057.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: