Задание 14. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 16, боковые рёбра равны 11.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через A1, В1 и середину ребра ВС, является трапецией.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A1, B1 и середину ребра ВС.
Решение.
а) В правильной призме плоскости оснований ABC и параллельны друг другу. Плоскость сечения проходит через точки и точку M, находящейся на середине отрезка BC, следовательно, плоскость сечения будет также пересекать в центре и отрезок AC в точке N, то есть MN – средняя линия треугольника ABC и . Так как , то и . Учитывая, что длина отрезка , то получаем фигуру с разными по длине, но параллельными отрезками – такая фигура может образовывать только трапецию.
б) В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник, следовательно, трапеция - равнобедренная. Площадь трапеции будем искать по формуле
.
Найдем высоту трапеции NH из прямоугольного треугольника . Гипотенузу этого треугольника найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника , получим:
Катет треугольника вычислим с учетом равнобедренности трапеции и длины , получим:
.
В результате, высота NH трапеции будет равна
и площадь сечения
.
Ответ: 156.
Другие задания: