ЕГЭ и ОГЭ
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Источник задания: Решение 2454. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Задание 19. Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифр 8 и 9.

а) Может ли в такой прогрессии быть 6 членов?

б) Докажите, что число её членов меньше 70.

в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 32.

г) Приведите пример такой прогрессии с 32 членами.

Решение.

а) Арифметическая прогрессия определяется выражением

,

где  - разность прогрессии. Допустим, что первый член прогрессии равен 1, и разность . Тогда получим прогрессию из следующих 6 членов:

1, 2, 3, 4, 5, 6,

которые не содержат цифр 8 и 9.

Ответ: да, можно.

б)-г) Здесь мы докажем, что максимальное число членов такой прогрессии не более 32. При изменении величины  можно заметить следующую закономерность в значениях членов последовательности (см. ниже):

при :

при :

при :

Если же брать двухзначные значения , то получим следующую картину значений:

при :

Из этих примеров можно заметить, что значения в первой строке образуют некую группу значений, которая повторяется в последующих строках путем прибавления либо 10, либо 100, либо другой величины, в общем случае , где  - число цифр в параметре . Используя эту закономерность значений членов последовательности, можно найти параметр , при котором арифметическая последовательность будет иметь максимальное число членов, не содержащая определенные цифры.

В задании требуется доказать что максимальное число членов прогрессии (не содержащая цифр 8 и 9) будет меньше 70. А под следующей буквой в) нужно доказать что таких членов не больше 32. Здесь имеем подсказку, максимальное число членов скорее всего 32. Число 32 можно получить следующим образом (учитывая, что в строке максимум может быть 10 чисел):

то есть нужно выбрать  так, чтобы в строках было либо 8, либо 4 значения. Так как должны получаться целые значения, то,  или , получим:

при :

при :

Во втором случае видим, что последовательность содержит цифру 8, следовательно, не подходит. При  получаем ровно 32 члена, не содержащих чисел 8 и 9.

Теперь нужно доказать, что 32 – это максимальное число членов, без цифр 8 и 9. Можно заметить, что в приведенной схеме, в строке может быть либо 2 члена (при ), либо 4 члена (при ), либо 5 членов (при ), либо 8 членов (при ), либо 10 членов (при ). Других вариантов быть не может. Выберем те варианты , при которых не будет цифр 8 и 9 в членах последовательности, получим:

при : 1, 3, 5, 7, 9 – не подходит при любом ;

при : 1, 6 – подходит;

при : 1, 26, 51, 76 – подходит;

при : 1, 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 – не подходит при любом .

Отсюда следует, что параметр  может быть либо 5, либо 25. При 5 имеем 2 члена в строке, при 25 – 4 члена в строке. Оба этих варианта ранее уже были рассмотрены и мы убедились, что при 4 членах в строке имеем 32 члена без цифр 8 и 9 и это наибольшее значение.

Другие задания: