Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 1. Задание 19. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 19. Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифр 8 и 9.

а) Может ли в такой прогрессии быть 6 членов?

б) Докажите, что число её членов меньше 70.

в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 32.

г) Приведите пример такой прогрессии с 32 членами.

Решение.

а) Арифметическая прогрессия определяется выражением

,

где  - разность прогрессии. Допустим, что первый член прогрессии равен 1, и разность . Тогда получим прогрессию из следующих 6 членов:

1, 2, 3, 4, 5, 6,

которые не содержат цифр 8 и 9.

Ответ: да, можно.

б)-г) Здесь мы докажем, что максимальное число членов такой прогрессии не более 32. При изменении величины  можно заметить следующую закономерность в значениях членов последовательности (см. ниже):

при :

при :

при :

Если же брать двухзначные значения , то получим следующую картину значений:

при :

Из этих примеров можно заметить, что значения в первой строке образуют некую группу значений, которая повторяется в последующих строках путем прибавления либо 10, либо 100, либо другой величины, в общем случае , где  - число цифр в параметре . Используя эту закономерность значений членов последовательности, можно найти параметр , при котором арифметическая последовательность будет иметь максимальное число членов, не содержащая определенные цифры.

В задании требуется доказать что максимальное число членов прогрессии (не содержащая цифр 8 и 9) будет меньше 70. А под следующей буквой в) нужно доказать что таких членов не больше 32. Здесь имеем подсказку, максимальное число членов скорее всего 32. Число 32 можно получить следующим образом (учитывая, что в строке максимум может быть 10 чисел):

то есть нужно выбрать  так, чтобы в строках было либо 8, либо 4 значения. Так как должны получаться целые значения, то,  или , получим:

при :

при :

Во втором случае видим, что последовательность содержит цифру 8, следовательно, не подходит. При  получаем ровно 32 члена, не содержащих чисел 8 и 9.

Теперь нужно доказать, что 32 – это максимальное число членов, без цифр 8 и 9. Можно заметить, что в приведенной схеме, в строке может быть либо 2 члена (при ), либо 4 члена (при ), либо 5 членов (при ), либо 8 членов (при ), либо 10 членов (при ). Других вариантов быть не может. Выберем те варианты , при которых не будет цифр 8 и 9 в членах последовательности, получим:

при : 1, 3, 5, 7, 9 – не подходит при любом ;

при : 1, 6 – подходит;

при : 1, 26, 51, 76 – подходит;

при : 1, 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876 – не подходит при любом .

Отсюда следует, что параметр  может быть либо 5, либо 25. При 5 имеем 2 члена в строке, при 25 – 4 члена в строке. Оба этих варианта ранее уже были рассмотрены и мы убедились, что при 4 членах в строке имеем 32 члена без цифр 8 и 9 и это наибольшее значение.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: