Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика 2016 > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 1. Задание 14. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 14. Радиус основания конуса равен 6, а высота конуса равна 8. В конусе проведено сечение плоскостью, проходящей через вершину конуса и хорду окружности основания, длина которой равна 4.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину этой хорды и высоту конуса, перпендикулярна этой хорде.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью сечения.

Решение.

а) Рассмотрим равнобедренный треугольник AOB, у которого стороны AO=OB=r, где r – радиус окружности. По условию точка P – середина отрезка AB, следовательно, . Рассмотрим равнобедренный треугольник AMB, со сторонами AM=MB, равные длине образующей конуса. Из условия того, что P – середина отрезка AB следует . Таким образом, имеем, что

и, следовательно, .

б) Угол  является линейным углом двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью сечения MAB. Найдем этот угол. Рассмотрим прямоугольный треугольник MOP, т.к. MO – высота конуса. Тогда

.

Длина отрезка MO=8, а длину PO найдем из прямоугольного треугольника AOP, в котором известна гипотенуза AO=6 и катет AP=4:2=2, и по теореме Пифагора имеем:

.

Подставляем числовые значения, получаем:

и

.

Ответ: .

Наша группа Вконтакте