Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 18. Задание 19. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 19. На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?

б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?

в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Решение.
а), в)
Чтобы среднее арифметическое, уменьшенных в 2 раза чисел, оказалось больше 14, необходимо некоторые числа сделать меньше 1 и удалить их из последовательности, иначе среднее арифметическое станет 7:2=3,5.

Для достижения максимального среднего, нужно отбросить как можно больше слагаемых, а оставшиеся должны быть наибольшими, т.е. изначально в последовательности записать наибольшее число слагаемых, равных 1. Можно заметить, что если взять последовательность вида

,

то получим среднее близкое к 7. Следовательно, одно из чисел 40 нужно уменьшить так, чтобы среднее стало 7, получим

,

откуда

.

Полученная последовательность из 25 единиц, четырех максимальных чисел 40 и одного числа 25 даст среднее арифметическое 7. И после уменьшения чисел в 2 раза, получим максимально возможное среднее, равное

,

которое больше 14.

Ответ: а) да; в) 18,5.

б) Чтобы ответить на этот вопрос достаточно рассмотреть последовательность вида

,

где переменные  подобраны так, чтобы среднее арифметическое было равно 7, т.е. должно выполняться равенство

,

или в виде

.

По условию задачи, уменьшенная в 2 раза последовательность должна иметь среднее , получим:

Получаем систему

Вычитаем из второго уравнения первое, имеем:

Вычислим значения  при  и 13, получим:

то есть не существует целого , при котором среднее арифметическое будет находиться в диапазоне .

Ответ: нет.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: