Задание
14. В
правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной М боковое ребро равно 10. Точка
L — середина ребра МС. Тангенс угла между прямыми BL
и AM равен 
.
а) Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые AM и OL параллельны.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение.
а) В основании
правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат и точка O – проекция вершины
пирамиды на основание, лежит на пересечении диагоналей квадрата и делит их
пополам. Точка L – середина ребра MC по условию
задачи. Следовательно, в треугольнике AMC прямая OL является
средней линией, а как известно, средняя линия параллельная основанию
треугольника, то есть 
.
б) Найдем сначала
длину основания (квадрата). Покажем, что треугольник LOB прямоугольный.
Из рисунка видно, что треугольник DLB – равнобедренный
(DL=LB), а отрезок LO – медиана равнобедренного
треугольника, проведенная к основанию DB. Но как известно, такая медиана
равнобедренного треугольника является также и высотой, следовательно, 
и треугольник LOB – прямоугольный.
В этом прямоугольном треугольнике катет 
и известен тангенс
угла OLB, найдем OB:
,
откуда
.
Сторону BC можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BOC (так как диагонали квадрата пересекаются под прямым углом):
.
Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из площадей четырех равных равнобедренных треугольников MBC. Чтобы найти площадь данного треугольника, вычислим высоту этого треугольника, зная длины его сторон, получим (из прямоугольного треугольника MHC):
и
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна
.
Ответ: 120.
Другие задания:
