Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 17. Задание 14. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 14. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 15, точка D — середина ребра СС1.

а) Пусть прямые BD и В1С1 пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕА1В1 — прямой.

б) Найдите угол между плоскостями А1В1С1 и BDA1.

Решение.

а) Рассмотрим подобные треугольники  и  (подобны по двум углам:  - общий угол и  так как ) Учитывая, что точка D – середина ребра , то треугольники подобны с коэффициентом подобия 2 (треугольник  в 2 раза больше треугольника ). Следовательно, , и так как , то прямая  является средней линией треугольника , а значит, точка  лежит по середине отрезка и . Это означает, что треугольник  равнобедренный с основанием . Так как углы при основании равны, а угол  (в основании призмы лежит равносторонний треугольник с углами 60 градусов), то угол

и

,

то есть он  является прямым.

б) Угол между плоскостями  и  - это линейный угол  (см. рисунок). Точка H – это высота, проведенная к отрезку , то есть . Также , и по теореме о трех перпендикулярах получаем, что , то есть треугольник  - прямоугольный. Из прямоугольного треугольника  можно найти тангенс угла  как

.

Длина отрезка , а длина отрезка  (из прямоугольного треугольника ), равна

.

Таким образом, тангенс угла

и

.

Ответ: .

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: