Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 16. Задание 16. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 16. На сторонах АВ, BС, CD и AD параллелограмма ABCD отмечены точки K, L, М и N соответственно, причём AK/KB = BL/LC = CM/MD = DN/NA.

а) Докажите, что четырёхугольник KLMN — параллелограмм, а его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.

б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN и ABCD, если известно, что АК : KB = 3:2.

Решение.

а) Пусть  и , тогда  и , где  - коэффициенты пропорциональности. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то , ,  и , а угол  (см. рисунок). Из этих равенств следует, что треугольники KBL и MDN равны по двум сторонам и углу. Тогда отрезки KL=NM. Аналогично и для треугольников AKN и LCM, у которых две равные стороны и угол, следовательно, LM=KN. Таким образом, четырехугольник, у которого противоположные стороны равны, является параллелограммом, то есть KLMN – параллелограмм.

б) Так как АК:KB = 3:2, то , , , и аналогично для , , . Площадь параллелограмма ABCD можно вычислить по формуле

Площадь параллелограмма KLMN вычислим как разность между площадью параллелограмма ABCD и площадями четырех равных треугольников AKN:

и отношение площадей, равно

.

Ответ: .

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: