ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Источник задания: Решение 3949. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Задание 14. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 7, точка D — середина ребра BB1.

а) Пусть прямые C1D и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что угол ЕАС — прямой.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADC1.

Решение.

а) Треугольники  и EBD равны между собой как прямоугольные по катету  и острому углу . Следовательно, стороны , а значит и  (так как стороны при основании призмы равны). Получаем равнобедренный треугольник EAB, в котором угол  (так как в равностороннем треугольнике ABC все углы по 60 градусов и 180-60=120 градусов). Учитывая, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то угол , и угол

,

то есть является прямым.

б) Покажем, что линейный угол  является углом между плоскостями ABC и . Проведем высоту BH к стороне EA, то есть . Кроме того, , откуда следует, что  по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, угол  - линейный угол угла между плоскостями ABC и .

Рассмотрим прямоугольный треугольник DBH, из которого следует, что тангенс угла

.

Длина , отрезок , и

,

соответственно,

.

Ответ: .

Другие задания: