Задание 14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 6. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 2.
а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые AS и OL параллельны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
Решение.
а) В основании правильной пирамиды лежит квадрат, то есть ABCD – квадрат. Диагонали в квадрате пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Точка L – середина SC по условию задачи. Отсюда следует, что OL – средняя линия треугольника SAC и, следовательно, и .
б) Сначала найдем длину бокового ребра AS. Учитывая пункт а) можно заключить, что в задаче дано значение (см. рисунок). Рассмотрим равнобедренный треугольник DLB (так как DL=LB), в котором точка O лежит по середине BD, следовательно, LO – медиана и высота треугольника DLB, то есть и треугольник LOB – прямоугольный. Тогда можно записать, что
.
В свою очередь OB равно половине BD и из прямоугольного треугольника BDC по теореме Пифагора, имеем:
и
.
В пункте а) было показано, что , то есть
.
Площадь поверхности пирамиды можно найти как
,
где - площадь боковой поверхности; - площадь основания. Площадь основания будет равна
,
а площадь боковой поверхности
,
где - площадь равнобедренного треугольника ABS с длиной основания AB=6 и высотой
,
то есть
и
.
Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды, равна
.
Ответ: 72.
Другие задания: