Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 15. Задание 14. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 14. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 6. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 2.

а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые AS и OL параллельны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение.

а) В основании правильной пирамиды лежит квадрат, то есть ABCD – квадрат. Диагонали в квадрате пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Точка L – середина SC по условию задачи. Отсюда следует, что OL – средняя линия треугольника SAC и, следовательно,  и .

б) Сначала найдем длину бокового ребра AS. Учитывая пункт а) можно заключить, что в задаче дано значение  (см. рисунок). Рассмотрим равнобедренный треугольник DLB (так как DL=LB), в котором точка O лежит по середине BD, следовательно, LO – медиана и высота треугольника DLB, то есть  и треугольник LOB – прямоугольный. Тогда можно записать, что

.

В свою очередь OB равно половине BD и из прямоугольного треугольника BDC по теореме Пифагора, имеем:

и

.

В пункте а) было показано, что , то есть

.

Площадь поверхности пирамиды можно найти как

,

где  - площадь боковой поверхности;  - площадь основания. Площадь основания будет равна

,

а площадь боковой поверхности

,

где  - площадь равнобедренного треугольника ABS с длиной основания AB=6 и высотой

,

то есть

и

.

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды, равна

.

Ответ: 72.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: