Задание 16. Медианы АА1, ВВ1 и СС1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Известно, что АС = 3MB.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан АА1 и СС1, если известно, что АС = 20.
Решение.
а) Треугольник равнобедренный со сторонами , следовательно, углы . Аналогично и в треугольнике стороны и углы (см. рисунок ниже).
Рассмотрим треугольник ABC, сумма всех углов в котором, равна 180 градусов, следовательно, можно записать
Как видно из рисунка, угол B равен , следовательно, он прямой, а треугольник ABC – прямоугольный.
б) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором проведены медианы AA1 и CC1 к катетам и медиана BB1 – к гипотенузе. Для таких медиан справедливо равенство:
Так как , то
Ответ: 500.
Другие задания: