Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 12. Задание 14. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 14. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра АВ = 35, AD = 12, СС1 = 21.

а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.

Решение.

а) Основание ABCD является прямоугольником, следовательно, треугольник ABD – прямоугольный с катетами AB и AD, AH – его высота, то есть . Так как , то отрезок  по теореме о трех перпендикулярах, и, следовательно, для треугольника  отрезок  является высотой. На этом основании можно заключить, что высоты  и  имеют общее основание BD.

б) Угол между плоскостями ABC и  соответствует двугранному углу  (см. рисунок). Так как треугольник  прямоугольный, то тангенс угла  равен

.

Длину отрезка AH можно найти из формулы площади треугольника DAB:

,

откуда

.

Отрезок BD найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ADB:

и

.

Таким образом, тангенс угла , равен:

,

откуда

.

Ответ: .

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: