Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов экзаменационных работ (профильный уровень)

Вариант 11. Задание 16. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Решение. Ответ.

Задание 16. Медианы AM и BN треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке Р.

а) Докажите, что CP = АВ.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что АС = 4 и ВС = 7.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник ABC, в котором отмечены медианы AM, BN и CF. Медианы пересекаются в одной точке P и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. То есть можно записать, что CP=2FP. Учитывая, что точка F находится на середине отрезка AB и треугольник APB прямоугольный (по условию задания), то точка F является центром описанной окружности вокруг треугольника APB. Следовательно, отрезки AF, FB, FP – радиусы этой окружности, и FP=2AB. Но так как FP=2PC, то 2AB=2PC, и, значит, AB=CP.

б) Пусть  и , соответственно,  и . Рассмотрим прямоугольный треугольник BPM (так как ). В соответствии с теоремой Пифагора можно записать равенство:

Аналогично, из прямоугольного треугольника APN, имеем:

Получаем систему уравнений:

Умножим первое уравнение на 4 и вычтем его из второго, получим:

Подставляя полученное значение во второе уравнение, имеем:

Рассмотрим прямоугольный треугольник APB, в котором гипотенуза AB равна

Найдем косинус угла  из треугольника ABC по теореме косинусов:

тогда

.

Наконец, площадь треугольника ABC равна:

Ответ: .

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта: