Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика 2015 > Диагностические и тренировочные работы

Задание 16. ЕГЭ Математика 2015. Единый государственный экзамен от 4 июня 2015. Решение

Задание 16. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = √5 и ВС = 2. Длины боковых ребер пирамиды SA = √7,SB = 2√3 ,SD = √11

а) Докажите, что SA - высота пирамиды

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB

Решение.

а) Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны , , . Из значений этих сторон следует, что , то есть в соответствии с теоремой Пифагора треугольник SAB прямоугольный с гипотенузой SB, а . Рассмотрим теперь треугольник SAD со сторонами , , , откуда видно, что , следовательно SAD прямоугольный треугольник и . Таким образом из  и  следует, что , т.е. SA – высота пирамиды по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

б) Угол между прямой SC и плоскостью ASB равен углу между прямыми SC и SB (см. рисунок). Ранее было установлено, что  по теореме о трех перпендикулярах, следовательно, треугольник SBC прямоугольный. Это дает возможность вычислить тангенс искомого угла:

,

то есть

.

Ответ: 30.

Темы раздела