Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика 2015 > Диагностические и тренировочные работы

Задание 16. ЕГЭ Математика 2015. Тренировочная работа от 22 апреля 2015. Решение

Задание 16. На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E:EA = 5:3, на ребре BB1 - точка F так, что B1F : FB = 5:11, а точка T - середина ребра B1C1. Известно, что AB = 6√2, AD = 10, AA1 = 16.

а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .

Решение.

а) По условию задачи  и , следовательно,  и . Аналогично для , следовательно,  и . Из полученных значений длин отрезков видно, что подобные треугольники  и  имеют коэффициент подобия , т.е. треугольник  имеет длины сторон в 2 раза меньше соответствующих длин треугольника . В частности, это означает, что точка T будет проецироваться в точку  при масштабировании плоскости EFT, т.е. плоскость EFT будет проходить через точку .

б) Найдем площадь сечения . Найдем длину отрезка . Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник , из которого по теореме Пифагора, имеем:

.

Найдем аналогичным образом длину отрезка  из прямоугольного треугольника  (здесь длина ):

.

Равенство сторон  и  означает, что сечение  является равнобедренной трапецией.

Найдем длину отрезка FT из прямоугольного треугольника :

,

длину отрезка  из прямоугольного треугольника :

.

Зная основания равнобедренной трапеции, можно найти длину EH по формуле:

и из прямоугольного треугольника  находим высоту трапеции :

Таким образом, площадь сечения, равна:

Ответ: 97,5.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.
Темы раздела