Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика 2015 > ЕГЭ 2015. Математика, И.В. Ященко. Профильный уровень 36 вариантов

Вариант 9. Задание 16. ЕГЭ 2015 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 16. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 5, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра СС1.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

Решение.

а) Отрезок B1D пересекает BC в точке E, точка A – общая для плоскостей ABC и AB1D, следовательно, плоскости пересекаются по прямой AE (см. рисунок).

б) Проведем отрезок , отрезок , тогда  и угол DHC – линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC и ADB1. Данный угол и требуется найти.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DCH, из которого следует, что

.

Так как точка D – середина отрезка CC1=2, то DC=1. По теореме Фалеса имеем EC=CB=5, AC=5, а угол . Треугольник ECA равнобедренный (это следует из подобия треугольников ECD и DC1B, в которых EC=C1B1, а C1B1=CA, то есть EC=CA), тогда угол  и

,

откуда

Наконец,

и искомый угол

.

Ответ: .

Темы раздела