Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика 2015 > ЕГЭ 2015. Математика, И.В. Ященко. Профильный уровень 36 вариантов

Вариант 1. Задание 16. ЕГЭ 2015 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 16. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD — квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. На ребре SA отмечена точка М так, что SM = 6.

а)  Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, C, и M.

б) Найдите расстояние от вершины S до плоскости ВСМ.

Решение.

а) Так как плоскость ВСМ параллельна AD, то она пересекает грань ADS по прямой MN параллельной AD. Таким образом, сечением является трапеция BMNC.

б) Прямые BM и CN пересекаются в точке U, причём прямая US — пересечение плоскостей граней SAB и SCD — параллельна AB. Из подобия треугольников USM и BAM имеем , откуда .

Пусть теперь T — середина BC. Так как  и , то плоскость BCM перпендикулярна плоскости UST. Это значит, что искомое расстояние SH — высота в треугольнике UST. Найдём её.

Для этого сначала вычислим . Далее, если SO — высота пирамиды, то . По теореме косинусов в треугольнике UST , при этом . Тогда .

Теперь вычислим площадь треугольника UST двумя способами. С одной стороны она равна половине произведения стороны US на высоту из точки T на неё, но эта высота равна SO, то есть площадь равна . С другой стороны, она равна , так что .

Ответ: .

Наша группа Вконтакте

Темы раздела