Самообразование
Главная > Математика > Модели и методы обработки сигналов

Фильтр Винера для ограниченных сигналов в дискретном времени

Рассмотрим синтез (построение) фильтра Винера для сигнала , состоящего из двух отсчетов  и :

.

Здесь знак  означает транспонирование, т.е. вектор  является вектор-столбцом, но для удобства записан как вектор-строка.

На вход фильтра поступают наблюдения

 и ,

где  - шумовые добавки, искажающие исходный сигнал . Будем полагать, что  являются независимыми гауссовскими случайными величинами с нулевым средним значением (математическим ожиданием) и известной дисперсией .

Целью работы фильтра Винера является вычислить исходный сигнал  по наблюдениям . Однако точно определить значения  по наблюдениям , как правило, невозможно, можно лишь уточнить значения наблюдений (построить оценки), стараясь максимально приблизиться к истинным значениям сигнала , т.е. избавиться от шумовых составляющих  и .

В фильтре Винера оценка -го отсчета  строится по правилу:

,

где  - набор некоторых (пока еще неизвестных) весовых коэффициентов. Или в нашем случае:

.                    (1)

Коэффициенты  требуется выбрать так, чтобы обеспечить наилучшее приближение оценки  к исходному значению . При этом «наилучшее» означает минимум дисперсии рассогласования (ошибки) между оценкой и ее истинным значением, т.е.

.

Учитывая, что в нашем случае значение дисперсии  зависит от двух параметров  и , то их оптимальные значения можно найти из системы линейных уравнений:

                               (2)

так как значения производных в точке минимума квадратичной функции равны. Вычисляя производные, получаем следующее выражение для вычисления оценки первого отсчета:

и, раскрывая знак математического ожидания, имеем:

Оценка -го отсчета  при многомерном векторе наблюдений ,  будет строиться в виде

.

Тогда дисперсия ошибки оценивания для -го отсчета будет зависеть от вектора параметров  и имеет вид:

.

Оптимальные значения весовых коэффициентов  находятся из уравнения

и, получаем

Первое слагаемое полученного выражения представляет собой взаимную корреляцию -го отсчета  с вектором наблюдений  и представляет собой вектор

,

где  - ковариация между -м и -м отсчетами последовательности .

Второе слагаемое соответствует взаимной корреляции вектора наблюдений  и представляет собой матрицу следующего вида

здесь  - автоковариационная матрица последовательности , а  - диагональная матрица с дисперсиями шума наблюдений.

В приведенных обозначениях, оптимальный вектор весовых коэффициентов вычисляется следующим образом:

.

Темы раздела