Самообразование
Главная > Методы обработки сигналов > Модели и методы обработки сигналов

Калмановская фильтрация авторегрессионных сигналов 1-го порядка

В предыдущей статье Основы фильтра Калмана мы рассмотрели принципы калмановской фильтрации для задачи оценивания неизвестного параметра по серии наблюдений. Здесь мы применим данный алгоритм для фильтрации авторегрессионных (АР) случайных последовательностей (СП) первого порядка.

Модель АР 1-го порядка является частным примером марковской последовательности и подробно описана в материале Авторегрессионные модели случайных последовательностей. Напомним, что она порядка имеет следующий вид:

,

где  - коэффициент АР (и в данной модели также коэффициент корреляции между соседними отсчтеами СП);   - независимые нормальные случайные величины (СВ) с нулевым математическим ожиданием (МО) и дисперсией . И положим, что отсчеты СП имеют одну и ту же дисперсию .

Будем полагать, что исходный сигнал  нам неизвестен, но известны наблюдения

,

где  - независимые нормальные СВ с нулевым средним и дисперсиями . То есть к исходному сигналу добавлен гауссовский шум и требуется, зная наблюдения  восстановить исходный сигнал . Вычислить точно значения  по , как правило, невозможно, поэтому поставим задачу получить как можно более точное приближение к сигналу , т.е. вычислить оценки  для всех отсчетов СП.

Поставленная задача имеет оптимальное решение (в смысле минимума дисперсии ошибки оценивания), которое можно получить  с помощью фильтра Калмана. Допустим, что на -м шаге работы алгоритма уже вычислена предыдущая оценка  и зная текущее наблюдение , необходимо вычислить оценку . В фильтре Калмана при построении оценки участвуют два наблюдения. Первое – это наблюдаемое значение -го отсчета . Второе можно получить путем прогнозирования -го отсчета по ранее вычисленной оценке . Так как мы имеем дело с гауссовским сигналом, то оптимальный прогноз будет иметь вид:

,

где  - некоторый весовой коэффициент. Найдем величину  из условия минимума дисперсии ошибки оценивания:

получим

откуда следует, что

и оптимальный прогноз есть

.

Учитывая независимость СВ, дисперсия ошибки  этого прогноза есть величина

      (1)

где  - дисперсия ошибки оценивания величины .

В результате мы получили второе наблюдение  с дисперсией ошибки прогноза (наблюдения)  и алгоритм построения оценки -го отсчета в соответствии с материалом Фильтр Калмана дискретного времени можно записать в виде:

,            (2)

где  - дисперсия ошибки оценивания -го отсчета, которая в соответствии с формулой (12) материала Основы фильтра Калмана определяется как

                               (3)

Таким образом, формулы (1)-(3) определяют рекуррентную процедуру построения оценок  СП по наблюдениям  с помощью фильтра Калмана. При этом оценка первого отсчета строится исходя из значения предыдущей оценки, равной МО СП:

,

т.к. это лучшая оценка (в смысле минимума дисперсии ошибки оценивания), которую можно получить. В нашем случае  и . Соответственно дисперсия ошибки прогноза будет равна дисперсии СП, т.е.  и алгоритм вычисления  примет вид:

       (4)

Выражение (4) определяет начальные условия работы фильтра Калмана для фильтрации АР СП 1-го порядка.

Наша группа Вконтакте

Темы раздела