Самообразование
Главная > Математика > Подготовка к ЕГЭ по теории вероятностей

Примеры решения задач на произведение и сумму случайных событий

Задача 1. В некоторой местности наблюдения показали:

1. Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.

2. Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,4.

3. Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.

Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.

Решение.

Рассмотрим два несовместных события:

: июньский день пасмурный, но дождь не пошел;

: июньский день ясный и дождь не пошел.

По условию задачи нужно найти вероятность события  того, что дождь не пойдет ни в пасмурный, ни в ясный день. Найдем вероятности событий  и . Событие  включает в себя два независимых события: день пасмурный и дождь не пошел. Вероятность того, что день пасмурный дано по условию задачи и равна 0,3. Вероятность того, что дождь не пойдет в пасмурный день, равна обратной вероятности того, что дождь пойдет, т.е. . Таким образом, вероятность события , равна

.

Аналогичны рассуждения и для события . Вероятность того, что день будет ясный, равна 0,7. Вероятность того, что дождь не пойдет в ясный день, равна . Окончательно, для события  имеем:

.

Искомая вероятность события , равна

.

Ответ: 0,81.

Задача 2. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,7, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.

Решение.

Рассмотрим два несовместных события:

 – ковбой Джон промахивается из пристрелянного револьвера;

 – ковбой Джон промахивается из непристрелянного револьвера.

Решение задачи будет состоять в подсчете суммы вероятностей этих двух событий, так как Джон может промахнуться или в первом случае, или во втором.

Найдем вероятность события . Оно состоит из двух независимых событий: во-первых, Джон должен схватить пристрелянный револьвер (вероятность 2/10) и, во-вторых, промахнуться (вероятность 1-0,7), в итоге получаем:

.

Найдем вероятность события . Оно также состоит из двух независимых событий: во-первых, Джон должен схватить непристрелянный револьвер (вероятность 8/10) и, во-вторых, промахнуться (вероятность 1-0,3), получаем:

.

Искомая вероятность того, что Джон промахнется, равна

Ответ: 0,62.

Задача 3. Игральную кость бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.

 

Решение.

При бросании игральной кости могут выпадать числа 1,2,3,4,5 и 6 с равной вероятностью 1/6. Нас интересует выпадение одного из чисел 4, 5 или 6 при первом бросании игральной кости и выпадение таких же чисел при втором бросании. Вероятность появления одного из чисел 4, 5 или 6 равна сумме вероятности этих событий, т.е.

при втором бросании

Тогда вероятность того, что и при первом бросании, и при втором будут выпадать числа 4, 5 и 6, равна произведению вероятностей этих независимых событий:

.

Ответ: 0,25.

Задача 4. Игральную кость (кубик) бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что один раз выпало число, большее 3, а другой раз – меньшее 3.

Решение.

Для решения данной задачи выделим два независимых события:

 – при бросании выпало число или 4, или 5, или 6;

 – при бросании выпало число или 1, или 2.

Решением задачи будет нахождение вероятности произведения этих двух событий:

.

Найдем вероятность события . Так как вероятность выпадения какого-либо числа у игрального кубика равна 1/6, то вероятность появления одного из 3 чисел 4, 5 или 6, равна

.

Здесь учтено, что события, связанные с выпадением того или иного числа несовместны, т.е. не происходят одновременно.

Вероятность события  выпадения какого-либо числа 1 или 2, вычисляется аналогично

.

И решение задачи равно

Ответ: .

Задача 5. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что первые два броска окончатся одинаково.

Решение.

1-й способ. Данную задачу можно решить по методу модуля 1. Найти общее число равновозможных исходов . Определить число исходов , благоприятных условию задачи, и вычислить вероятность по формуле .

2-й способ. Первые два броска могут закончиться одинаково, когда произойдет одно из четырех несовместных событий:

 – решка, решка, орел;

 – решка, решка, решка;

 – орел, орел, решка;

 – орел, орел, орел.

Вероятность того, что при бросании выпадет решка или орел, равны по 1/2. Вероятность того, что решка или орел будут выпадать в строгой последовательности от броска к броску, вычисляется как произведение вероятностей соответствующих независимых событий. То есть, вероятность события  будет равна

.

Аналогично вычисляются вероятности событий ,  и :

.

Наконец, вероятность того, что при трехкратном бросании монеты произойдет одно из четырех несовместных событий , ,  или , равна сумме вероятностей этих несовместных событий:

.

Ответ: 0,5.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.
Темы раздела