ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Примеры решения задач на сумму несовместных событий по теории вероятностей

Задача 1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало очков, не меньшее, чем 3?

Решение.

1-й способ. Данную задачу можно решить по методу из модуля 1. Определить общее число равновозможных исходов . Найти число исходов , благоприятных условию задачи. И вычислить вероятность по формуле .

2-й способ. Эту же задачу можно решить, рассматривая серию несовместных событий, в которых может появиться или число 3, или число 4, или число 5, или число 6. Вероятность появления каждого из событий равна 1/6, а сумма указанных событий соответствует появлению одного из них при бросании кубика. Таким образом, искомая вероятность равна

.

Ответ: .

Задача 2. В соревнованиях по плаванию участвуют 4 спортсмена из Германии, 6 спортсменов из Италии, 7 спортсменов из России и 5 из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что спортсмен из Италии Джованни Лучио будет выступать первым, вторым или третьим.

Решение.

Рассмотрим три несовместных события:

 - Джованни Лучио выступает первым;

 - Джованни Лучио выступает вторым;

 - Джованни Лучио выступает третьим.

Решение задачи заключается в нахождении вероятности суммы этих трех несовместных событий:

Найдем вероятность каждого из событий по методу модуля 1. Вероятность того, что Джованни Лучио будет выступать первым, равна единица (т.к. спортсмен один), деленная на общее число выступающих спортсменов:

.

Аналогично вычисляются вероятности двух других событий:

.

В итоге, искомая вероятность равна

Ответ: .

Задача 3. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение.

Введем два события: событие A – сканер прослужит больше года и событие B – сканер прослужит более двух лет. Условно эти два события изображены на рисунке ниже.

И введем теперь третье событие C, означающее, что сканер прослужит больше года, но меньше двух лет. Для решения этой задачи рассмотрим противоположные события  - сканер прослужит не более одного года и  - сканер прослужит не более двух лет. Благодаря переходу к противоположным событиям, можно заметить, что сумма двух событий  будет означать, что сканер прослужит не более года или сканер прослужит более года, но меньше двух лет. То есть сумма этих событий в точности равна событию  и, следовательно, можно записать равенство вероятностей:

,

а, учитывая, что события  и C несовместны, то имеем:

.

Вероятности противоположных событий всегда равны , и аналогично, для второго события . Подставляя эти выражения в последнюю формулу, получаем:

Вероятности событий A и B даны по условию задачи 0,96 и 0,87, поэтому, вероятность события C, равна:

P(C) = 0,96 – 0,87 = 0,09.

Ответ: 0,09.

Задача 4. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Рассмотрим два несовместных события:

 – школьнику достался вопрос на тему «Внешние углы»;

 – школьнику достался вопрос на тему «Вписанная окружность».

Вероятность того, что произойдет или событие , или событие , равна сумме вероятностей этих событий:

.

Ответ: 0,45.

Задача 5. В магазине канцтоваров продается 120 ручек, из них 15 – красных, 22 – зеленых, 27 – фиолетовых, еще есть синие и черные, их поровну. Найдите вероятность того, что Алиса наугад вытащит синюю или зеленую ручку.

Решение.

Рассмотрим два несовместных события:

 – Алиса вытаскивает синюю ручку;

 – Алиса вытаскивает зеленую ручку.

Вероятность того, что Алиса вытащит или синюю или зеленую ручку равна сумме вероятностей этих событий.

Вероятность событий  и  находим по методу из модуля 1. Всего имеем 120 ручек, т.е. 120 равновозможных исходов. Зеленых ручек 22, следовательно, вероятность события , равна . Синих и черных поровну и равно (120-15-22-27)/2=28 штук. Отсюда вероятность события , равна . Искомая вероятность

.

Ответ: .

Темы раздела