Самообразование
Главная > Математика > Подготовка к ЕГЭ по теории вероятностей

Примеры решения задач на независимые события по теории вероятностей

Задача 1. Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение.

Данную задачу проще решать от обратного: сначала вычислить вероятность перегорания всех трех ламп, а затем, перейти к вероятности противоположного события, которое и будет означать перегорание хотя бы одной лампы.

Выделим три события  - перегорание 1-й лампы, 2-й лампы и 3-й лампы соответственно. Вероятность каждого из этих событий дана по условию задачи и равна

.

Все три события  независимы между собой (очевидно, перегорание одной лампы никак не влияет на перегорание остальных). Тогда, событие, описывающее перегорание всех трех ламп, соответствует произведению событий , т.е.

 - перегорание и 1-й, и 2-й, и 3-й ламп.

Вероятность события  равна произведению вероятностей событий , имеем:

.

И переходя к обратному событию  - не перегорание хотя бы одной лампы, получаем

.

Ответ: 0,973.

Задача 2. По отзывам покупателей Михаил Михайлович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,81. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,93. Михаил Михайлович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение.

Выделим два события:  - товар не был доставлен из магазина А.,  - товар не был доставлен из магазина Б. Так как магазины работают независимо друг от друга, то события  и  являются независимыми. Произведение этих событий, есть событие , означающее не поставку товара ни из магазина А, ни из магазина Б. Вероятность этого события требуется найти по условию задачи.

Вероятность события  того, что из магазина А. товар не был доставлен, равна противоположному событию того, что товар был доставлен, т.е.

.

Аналогично и для события :

.

Искомая вероятность равна:

.

Ответ: 0,0133.

Задача 3. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Решение.

Обозначим через событие  занятость первого продавца, через  - занятость второго, через  - занятость третьего. Вероятности этих событий даны по условию задачи и равны 0,2. Кроме того, указано, что клиенты магазина заходят независимо друг от друга, следовательно, события  также независимы между собой. Вероятность того, что в случайный момент времени будут заняты все три продавца, равна произведению вероятности занятости каждого из них, т.е.

.

Ответ: 0,008.

Задача 4. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,6. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение.

Рассмотрим два события:

 – гроссмейстер А. играет белыми и выигрывает у гроссмейстера Б.;

 – гроссмейстер А. играет черными и выигрывает у гроссмейстера Б.

Так как гроссмейстеры играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур, то будет происходить и событие  и событие , которые независимы друг от друга. Таким образом, искомая вероятность того, что А. выиграет оба раза, равна произведению вероятностей событий  и :

.

Ответ: 0,24.

Задача 5. В случайном эксперименте монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно три раза.

Решение.

1-й способ. Данную задачу можно решать и по методу модуля 1, т.е. перебрать все равновозможные варианты , определить благоприятные для выпадения трех решек подряд  и вычислить вероятность по формуле .

2-й способ. Более универсальный и быстрый основывается на вычислении вероятности произведения трех подряд идущих независимых событий  - выпадения «решки» при бросании монеты. Вероятность выпадения решки при однократном подбрасывании, равна , следовательно, выпадение решки во всех трех бросках, равна:

.

Ответ: .

Наша группа Вконтакте

Темы раздела