Самообразование
Главная > Математика > Подготовка к ЕГЭ по теории вероятностей

Решение задач среднего уровня сложности по теории вероятностей

В задачах среднего уровня сложности часто оперируют не одним случайным событием, а несколькими, обычно двумя, тремя. При этом возникает необходимость вычисления вероятностей суммы и произведения двух и более событий. Например, необходимо вычислить вероятность выпадения грани с числом 1 на первом игральном кубике и выпадение числа 3 – на втором игральном кубике. Здесь можно выделить два события:  - на первом кубике выпало число 1 и  - на втором кубике выпало число 3. Тогда случайное событие , определенное как произведение событий  и

 (иногда также обозначают как )

соответствует появлению и события , и события  в ходе проведения эксперимента. Вероятность события , в рамках решаемой задачи, равна

.

Учитывая, что  и  (см. предыдущий модуль), искомая вероятность

.

В рассмотренной задаче события  и  независимы друг от друга. По определению два события называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого события. Действительно, вероятность события  никак не зависит от того произошло или нет событие . И, наоборот, вероятность события  не зависит от того произошло или не произошло событие .

Для независимых событий вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.

.

Два события  и  называются зависимыми между собой, если появление одного из них влияет на вероятность появления другого. Для зависимых событий вероятность произведения вычисляется по формуле:

,

где  и  - обозначение условной вероятности событий  и  соответственно.

Рассмотрим пример зависимых событий. Пусть в урне находятся пять шаров: два белых и три черных. Наугад выбирается сначала первый шар, затем второй. Вынутые шары не кладутся обратно в урну. Выделим два события:  - первым был вынут белый шар,  - вторым был вынут черный шар. Изначально, вероятности событий  и  равны

 и .

Тогда, если первым был вынут белый шар, т.е. произошло событие , то в урне остается четыре шара, три из которых – черные. Следовательно, события  становится равной . Здесь обозначение  обозначает измененную вероятность события , при условии, что событие  уже произошло. Таким образом, решение данной задачи будет иметь вид

.

Таким образом, при вычислении вероятности произведения двух и более событий, необходимо сначала определить, являются ли они зависимыми или нет, и, только после этого, применить соответствующую формулу.

Теперь рассмотрим событие , равное сумме двух событий  и :

, (иногда обозначают и так )

которое означает появление или события , или события , или обоих сразу при проведении эксперимента.

При расчете вероятности события , т.е. вычисления вероятности  суммы двух событий, важно определить понятия совместных и несовместных событий.

Два события  и  называются несовместными, если в ходе проведения эксперимента они не могут произойти одновременно. Например, при бросании кубика события:  - выпало четное число и  - выпало нечетное число, несовместны.

Для несовместных событий, вероятность

.

Если же два события  и  при проведении эксперимента могут произойти одновременно, то они называются совместными. Например, если вместо одного кубика, взять два и определить события:  - на первом кубике выпало четное число,  - на втором кубике выпало нечетное число, то такие события являются совместными.

Для совместных событий, вероятность

.            (1)

Обратите внимание, если события  и  совместны, но независимы, то формулу (1) можно переписать в виде

.

Если же события  и  совместны и зависимы, то формула (1) расписывается так:

.

Таким образом, для вычисления вероятности суммы двух и более событий необходимо сначала определить, являются ли они совместными или несовместными и только после этого использовать соответствующую формулу. Кроме того, если события оказываются совместными, то в ряде случаев дополнительно нужно определить, являются ли они зависимыми или независимыми.

В условиях некоторых задач используются проценты для описания долей товаров, числа дней и др. Учитывая, что 1% – это  часть, то, например, запись 70% от числа , есть не что иное как . Часто (но не всегда) проценты таким образом переводятся в вероятность того или иного события.

Частотой события  называют отношение , где  – общее число испытаний, а  – число появлений события . Например, пусть при бросании монетки из 100 раз, орел выпал 52 раза. Тогда частота выпадения орла в нашем эксперименте, равна .

Частоту события не следует путать с его вероятностью. В некотором смысле, частота события – это экспериментальное значение вероятности. Частота стремится (приближается) к значению вероятности, при увеличении числа экспериментов, и в пределе, при бесконечном числе экспериментов, равна ей.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.
Темы раздела